\documentclass[paper=a4, fontsize=11pt, onecolumn]{scrartcl}	 % A4 paper and 11pt font size
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\usepackage{lipsum} % Used for inserting dummy 'Lorem ipsum' text into the template
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\newcounter{exercicio}
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\addtocounter{exercicio}{1}} {$\Box$\end{quote}\vspace{0.3cm}}



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\chead{}
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% Footers
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\color{DarkGoldenrod}
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%----------------------------------------------------------------------------------------
%	TITLE SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------

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\newcommand{\HorRule}{\color{DarkGoldenrod} \rule{\linewidth}{1pt}} % Defines the gold horizontal rule around the title

\pretitle{\vspace{-30pt} \begin{flushleft} \HorRule \fontsize{50}{50} \usefont{OT1}{phv}{b}{n} \color{DarkRed} \selectfont} % Horizontal rule before the title

\title{Exercícios} % Your article title

\posttitle{\par\end{flushleft}\vskip 0.5em} % Whitespace under the title

\preauthor{\begin{flushleft}\large \lineskip 0.5em \usefont{OT1}{phv}{b}{sl} \color{DarkRed}} % Author font configuration

\author{Carlos Marcelo Pedroso, } % Your name

\postauthor{\footnotesize \usefont{OT1}{phv}{m}{sl} \color{Black} % Configuration for the institution name
Universidade Federal do Paraná % Your institution

\par\end{flushleft}\HorRule} % Horizontal rule after the title

\date{} % Add a date here if you would like one to appear underneath the title block

%----------------------------------------------------------------------------------------


\begin{document}

\maketitle % Print the title

\thispagestyle{fancy} % Enabling the custom headers/footers for the first page 

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	ABSTRACT
%----------------------------------------------------------------------------------------

% The first character should be within \initial{}
\initial{L}\textbf{ista de exercícios sobre ajuste de distribuições de probabilidade para disciplina TE816 do curso de Pós Graduação em Engenharia Elétrica da UFPR. Esta parte da disciplina é uma revisão de modelos de probabilidade, com a adição de ajuste de distribuições de probabilidade. Estes fundamentos serão necessários para compreender a sequência da disciplina.}


%\question
 %Suponha que um \emph{switch} ethernet tenha probabilidade de 0,95 de funcionar mais que 500 horas. Se forem ensaiados 20 switches, qual será a probabilidade de que, destes, exatamente $k$, funcionem mais que 500 horas?
%

\section{Fundamentos}

\subsection{Distribuições 1}
Considere uma varável aleatória contínua $X$ que possui densidade de probabilidade dada por $f(x)=4x^3$, $0 \leq x \leq 1$. Determine:
 \begin{enumerate}
  \item $P(X \leq 1/2)$.
  \item $P(X \geq 3/4)$.
  \item Deduza a expressão para $P(X\leq x)$.
  \item Deduza a expressão para $E[X]$.
  \item Deduza a expressão para $V[X]$.
 \end{enumerate}

 \subsection{Distribuições 2}
Considere uma varável aleatória contínua $X$ que possui distribuição acumulada de probabilidade dada por $F(x)=x/5$, $0 \leq x \leq 5$. Determine:
 \begin{enumerate}
  \item $P(X \leq 3)$.
  \item $P(X > 2)$.
  \item Deduza a expressão para $P(X \leq x)$.
  \item Deduza a expressão para $E[X]$.
  \item Esta é uma distribuição conhecida muito usada. Qual é o nome desta distribuição?
 \end{enumerate}
 
\subsection{Distribuições 3}
Seja $X$ a duração da vida de um dispositivo eletrônico, medida em horas. Suponha que a densidade de probabilidade de X seja dada por $f(x)=k/x^n$, $2000\leq x \le\ 10000$. Determine:
 
 \begin{enumerate}
  \item Valor de $k$ para $n=2$.
  \item Valor de $k$ para $n=3$.
  \item Para um $n$ qualquer, determine $k$.
  \item Para $n=2$, determine qual a probabilidade de $X<5000$.
  \item Deduza $P(X\leq x)$ para $n=2$.
 \end{enumerate}




\section{Ajuste de distribuições}

Nestes exercícios você deve esboçar os gráficos exploratórios, como histograma e distribuição acumulada, e comentar/discutir estes resultados no texto. 
Lembre-se que imprimir o gráfico não é o suficiente.

\subsection{Ajuste 1 (nível fácil)}

Realize o teste de aderência para os dados a seguir. 

~

\begin{tabular}{| l | l | l |  l | l | l | l | l | l | l |}
\hline
0.0094 & 0.0099 & 0.0124 & 0.0080 & 0.0022 & 0.0083 & 0.0026 & 0.0091 & 0.0017 & 0.0277\\ 
\hline
0.0052 & 0.0109 & 0.0240 & 0.0065 & 0.0006 & 0.0171 & 0.0006 & 0.0047 & 0.0027 & 0.0164\\ 
\hline
0.0015 & 0.0014 & 0.0028 & 0.0051 & 0.0073 & 0.0436 & 0.0197 & 0.0032 & 0.0307 & 0.0157\\ 
\hline
0.0096 & 0.0066 & 0.0178 & 0.0003 & 0.0086 & 0.0001 & 0.0024 & 0.0064 & 0.0074 & 0.0055\\ 
\hline
0.0029 & 0.0233 & 0.0032 & 0.0204 & 0.0119 & 0.0045 & 0.0180 & 0.0064 & 0.0016 & 0.0079\\ 
\hline
0.0217 & 0.0345 & 0.0113 & 0.0024 & 0.0216 & 0.0041 & 0.0112 & 0.0010 & 0.0039 & 0.0168\\ 
\hline
0.0070 & 0.0039 & 0.0097 & 0.0149 & 0.0064 & 0.0089 & 0.0109 & 0.0204 & 0.0070 & 0.0044\\ 
\hline
0.0551 & 0.0009 & 0.0151 & 0.0077 & 0.0011 & 0.0126 & 0.0238 & 0.0262 & 0.0044 & 0.0040\\ 
\hline
0.0137 & 0.0019 & 0.0002 & 0.0096 & 0.0047 & 0.0471 & 0.0184 & 0.0037 & 0.0098 & 0.0044\\ 
\hline
0.0018 & 0.0019 & 0.0134 & 0.0038 & 0.0232 & 0.0043 & 0.0012 & 0.0063 & 0.0009 & 0.0175\\ 
\hline
\end{tabular}  

~

Você deve realizar a caracterização utilizando distribuições de probabilidade: (a) identificar a distribuição teórica que melhor se adapta a VA observada (use histograma, distribuição acumulada, esboce gráficos comparativos) e (b) realizar os testes de aderência de Chi-Quadrado e o QQPlot para confirmar sua hipótese.

\subsection{Ajuste 2 (nível médio)}

Considere as notas finais dos estudantes na disciplina TE244 (Sistemas Operacionais Embarcados). As notas estão publicadas em \textit{http://www.eletrica.ufpr.br/pedroso}. Considere as notas das turmas dos anos de 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 e 2017.

Você deve realizar a caracterização utilizando distribuições de probabilidade: (a) identificar a distribuição teórica que melhor se adapta a VA observada e (b) realizar os testes de aderência de Chi-Quadrado e o QQPlot para confirmar sua hipótese.

\subsection{Ajuste 3 (nível difícil)}

Analise o tamanho dos arquivos que compõe a página do Departamento de Engenharia Elétrica da UFPR. Os dados estão disponívies em \textit{http://www.eletrica.ufpr.br/pedroso/2017/TE816/files.csv}
Você deve realizar a caracterização utilizando distribuições de probabilidade: (a) identificar a distribuição teórica que melhor se adapta a VA observada e (b) realizar os testes de aderência de Chi-Quadrado e o QQPlot para confirmar sua hipótese (ou não!) (c) identificar e discutir qual o fenômeno que pode ser observado nestes dados. Use o gráfico da distribuição complementar em escala logarítimica, conforme descrição no material disponível no site. A discussão de resultados é muito importante neste exercício.



\end{document}
