\documentclass[paper=a4, fontsize=11pt, onecolumn]{scrartcl}	 % A4 paper and 11pt font size
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\newcounter{exercicio}
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{\vspace{0.3cm}\begin{quote}\emph{Exercício \theexercicio:}
\addtocounter{exercicio}{1}} {$\Box$\end{quote}\vspace{0.3cm}}



% Headers - all currently empty
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% Footers
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\rfoot{\footnotesize Page \thepage\ of \pageref{LastPage}} % "Page 1 of 2"

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\lettrine[lines=3,lhang=0.3,nindent=0em]{
\color{DarkGoldenrod}
{\textsf{#1}}}{}}

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	TITLE SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------

\usepackage{titling} % Allows custom title configuration

\newcommand{\HorRule}{\color{DarkGoldenrod} \rule{\linewidth}{1pt}} % Defines the gold horizontal rule around the title

\pretitle{\vspace{-30pt} \begin{flushleft} \HorRule \fontsize{50}{50} \usefont{OT1}{phv}{b}{n} \color{DarkRed} \selectfont} % Horizontal rule before the title

\title{Exercícios} % Your article title

\posttitle{\par\end{flushleft}\vskip 0.5em} % Whitespace under the title

\preauthor{\begin{flushleft}\large \lineskip 0.5em \usefont{OT1}{phv}{b}{sl} \color{DarkRed}} % Author font configuration

\author{Carlos Marcelo Pedroso, } % Your name

\postauthor{\footnotesize \usefont{OT1}{phv}{m}{sl} \color{Black} % Configuration for the institution name
Universidade Federal do Paraná % Your institution

\par\end{flushleft}\HorRule} % Horizontal rule after the title

\date{} % Add a date here if you would like one to appear underneath the title block

%----------------------------------------------------------------------------------------


\begin{document}

\maketitle % Print the title

\thispagestyle{fancy} % Enabling the custom headers/footers for the first page 

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	ABSTRACT
%----------------------------------------------------------------------------------------

% The first character should be within \initial{}
\initial{L}\textbf{ista de exercícios sobre ajuste de distribuições de probabilidade para disciplina EELT7029 do curso de Pós Graduação em Engenharia Elétrica da UFPR. Esta parte da disciplina é uma revisão de modelos de probabilidade, com a adição de ajuste de distribuições de probabilidade. Estes fundamentos serão necessários para compreender a sequência da disciplina.}


%\question
 %Suponha que um \emph{switch} ethernet tenha probabilidade de 0,95 de funcionar mais que 500 horas. Se forem ensaiados 20 switches, qual será a probabilidade de que, destes, exatamente $k$, funcionem mais que 500 horas?
%

\section{Fundamentos}

\subsection{Distribuições 1}
Considere uma varável aleatória contínua $X$ que possui distribuição exponencial com média 6,0. Determine:

 \begin{enumerate}
  \item $P(X \leq 5)$.
  \item $P(3 < X \leq 7)$.
  \item $P(X > 9)$.

 \end{enumerate}

 \subsection{Distribuições 2}
Considere uma varável aleatória contínua $X$ que possui distribuição normal com média 5,0 e desvio padão 4,0. Determine:

 \begin{enumerate}
  \item $P(X \leq 3)$.
  \item $P(3 < X \leq 6)$.
  \item $P(X > 10)$.
 \end{enumerate}
 
 \subsection{Distribuições 3}
Considere uma varável aleatória contínua $X$ que possui distribuição de Pareto com $\alpha=2,1$ e $\beta=1,0$. Determine:

 \begin{enumerate}
  \item E[X] e V[X].
  \item $P(X \leq 2)$.
  \item $P(2 < X \leq 10)$.
  \item $P(X > 10)$.
 \end{enumerate} 
 
\subsection{Distribuições 4}
Considere uma variável aleatória X com a densidade de probabilidade dada por 
$ f(x)= R x^{R-1} \quad \text{para} \quad  0 < x \leq 1$, onde $R>0$ é um inteiro.

 \begin{enumerate}
  \item Demonstre que esta função pode ser utilizada como uma distribuição de probabilidade.
  \item Determine $F(x)$ (apresente todo o desenvolvimento matemático).
  \item Determine $E(x)$ (apresente todo o desenvolvimento matemático).
  \item Determine $V(x)$ (apresente todo o desenvolvimento matemático).
 \end{enumerate}
 
\subsection{Distribuições 5}
Suponha uma variável aleatória X que descreve o peso de um grupo de pessoas.
Faça considerações sobre qual deve ser o comportamento da distribuição de probabilidade correspondente e escreva um gráfico com o esboço de $P(X=x)$.

 
\section{Ajuste de distribuições}

Nestes exercícios você deve esboçar os gráficos exploratórios, como histograma e distribuição acumulada, e comentar/discutir estes resultados no texto. 
Lembre-se que imprimir o gráfico não é o suficiente.

\subsection{Ajuste 1 (nível fácil)}

Realize o teste de aderência para os dados a seguir. 

~

\begin{tabular}{| l | l | l |  l | l | l | l | l | l | l |}
\hline
15.6	&1.7	&12.3	&11.9	&7.6	&14.2	&9.0	&14.1	&9.4	&10.1\\
\hline
15.6	&12.5	&9.9	&17.2	&-3.0	&10.8	&13.5	&2.2	&16.5	&7.1\\
\hline
11.8	&4.8	&7.5	&10.4	&14.1	&9.7	&14.0	&13.2	&12.4	&8.0\\
\hline
16.2	&11.2	&13.1	&9.4	&12.5	&10.0	&11.1	&9.7	&14.1	&17.6\\
\hline
8.5	&11.5	&10.2	&3.5	&9.4	&8.4	&3.4	&9.7	&8.8	&6.8\\
\hline
18.4	&5.7	&5.9	&15.8	&12.4	&7.1	&5.5	&12.3	&1.5	&4.7\\
\hline
13.1	&10.2	&7.5	&1.3	&14.7	&13.9	&11.0	&11.0	&14.3	&9.4\\
\hline
8.3	&19.9	&3.0	&6.7	&9.4	&12.5	&18.3	&19.1	&7.5	&13.6\\
\hline
15.9	&10.0	&14.8	&15.0	&21.2	&14.9	&17.8	&6.9	&2.0	&15.7\\
\hline
14.3	&13.9	&3.1	&-0.2	&9.7	&7.6	&18.1	&11.8	&7.3	&15.8\\
\hline
\end{tabular}  

~

Você deve realizar a caracterização utilizando distribuições de probabilidade: (a) identificar a distribuição teórica que melhor se adapta a VA observada (use histograma, distribuição acumulada, esboce gráficos comparativos) e (b) realizar os testes de aderência de Chi-Quadrado e o QQPlot para confirmar sua hipótese.

\section{Ajuste 2 (nível médio)}

Considere as notas da disciplina TE144 Eletricidade Aplicada, turma 2011:
\\ (http://www.eletrica.ufpr.br/pedroso/2011/TE144/NotasTE144.html).

Procure por uma distribuição de probabilidade que melhor se ajusta aos dados. Realize os testes de aderência de Chi-Quadrado e QQPlot para confirmar a sua hipótese. Faça considerações sobre a distribuição encontrada. Este era o resultado esperado? Porque?

\section{Ajuste 3 (nível médio)}

Considere a população das maiores cidades do Brasil, conforme os dados disponíveis em https://en.wikipedia.org/wiki/List\_of\_largest\_cities\_in\_Brazil (use a estimativa para 2020).

Procure por uma distribuição de probabilidade que melhor se ajusta aos dados, realize os testes de aderência de Chi-Quadrado e QQPlot para confirmar a sua hipótese.

\subsection{Lei de Zipf (nível difícil)}

Para o problema anterior, realize a modelagem utilizando a Lei de Zipf.

Considere que os usuários acessam o servidor de acordo com a Lei de Zipf, que argumenta que para uma população de N elementos a frequência normalizada do rank $k$, $f(k, \alpha, N)$ é dado por:

\begin{equation}
 \sum_{i=1}^N P_i=1, P_k=\frac{\lambda}{k^{1-\alpha}}, \lambda=\frac{1}{\sum_{i=1}^N \frac{1}{i^{1-\alpha}}}
\end{equation}

\noindent onde N é o número de elementos, $k$ é o rank do elemento e $\alpha$ é o parâmetro que caracteriza a distribuição.



\end{document}
